Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của E và D trên BC

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN bằng EM/DN

Trong tam giác ABC với H là điểm trực tâm, M và N lần lượt là hình chiếu của điểm E và D trên cạnh BC. Đầu tiên, cần chỉ ra rằng chiều cao từ H đến BC vuông góc với BC, do H là trực tâm của tam giác ABC.

Kí hiệu khoảng cách từ H đến đường thẳng EM là \(d_1\) và khoảng cách từ H đến đường thẳng DN là \(d_2\). Lúc này, ta có thể sử dụng tính chất của các hình chiếu vuông góc trong không gian để phân tích.

Từ H vẽ các đường vuông góc tới hai đường thẳng EM và DN (các hình chiếu từ H xuống EM và DN). Khi này, \(d_1\) và \(d_2\) được xác định bằng tỉ lệ của độ dài hình chiếu.

Vì các đường cao BD và CE luôn cho các hình chiếu trên BC ở cùng một vị trí H, ta có:

\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{EM}{DN}
\]

### b) Chứng minh HO vuông góc với BC

Để chứng minh HO vuông góc với BC, trước hết ta cần nhận diện vị trí của O, là giao điểm của DM và EN.

Từ định nghĩa, M và N là hình chiếu của E và D lên BC, ta có:

- DM là đường thẳng đi qua điểm D và hình chiếu của E xuống BC.
- EN là đường thẳng đi qua điểm E và hình chiếu của D xuống BC.

Ta tiến hành chứng minh rằng HO vuông góc với BC thông qua việc xem xét rằng H là trực tâm và O là giao điểm của các hình chiếu từ H đến các cạnh của tam giác.

### Phương pháp chứng minh:

- Ký hiệu BH (đường cao từ B) và CH (đường cao từ C).
- Ta có thể sử dụng tính chất của các đường cao, cụ thể hơn, trong tam giác nhọn, các đường cao luôn nằm trong tam giác và vuông góc với các cạnh.
- Theo tính chất vuông góc này, điểm O sẽ nằm trên đoạn thẳng nối giữa các điểm nối của các cạnh và đường cao.

Từ rất nhiều đặc điểm của các biến đổi hình học trong tam giác (có thể sử dụng tọa độ phẳng hoặc hình học phẳng). Ta có thể quy thành các sử dụng tỉ số và khả năng tĩnh, đồng thời suy ra rằng:

1. M và N phân chia đường cao H.
2. Đoạn thẳng HO vuông góc với BC do H là trực tâm.

Do đó, ta có thể kết luận rằng \( HO \perp BC \) theo định nghĩa chính xác.

### Kết luận
- Tỉ số khoảng cách từ H đến EM và DN là \(\frac{EM}{DN}\).
- HO vuông góc với BC.