Để giải bài toán này, ta sẽ đi qua từng bước như sau:

### a) Tính \( \overline{BI} \) và \( \overline{BK} \) theo \( \overline{BA} \) và \( \overline{AC} \)

1. **Xác định các điểm**:
- Giả sử các toạ độ của các điểm trong tam giác:
- \( A(0,0) \)
- \( B(b_1, b_2) \)
- \( C(c_1, c_2) \)

2. **Tìm trọng tâm \( G \)**:
- \( G \) là trọng tâm của tam giác \( ABC \), được tính bằng công thức:
\[
G\left( \frac{0 + b_1 + c_1}{3}, \frac{0 + b_2 + c_2}{3} \right)
\]

3. **Tìm điểm \( I \)**:
- \( I \) là trung điểm của \( AG \):
\[
I\left( \frac{0 + \frac{b_1 + c_1}{3}}{2}, \frac{0 + \frac{b_2 + c_2}{3}}{2} \right) = \left( \frac{b_1 + c_1}{6}, \frac{b_2 + c_2}{6} \right)
\]

4. **Tìm điểm \( K \)**:
- \( K \) là điểm thuộc \( AC \) sao cho \( KC = 4KA \). Gọi \( KA = k \), thì \( KC = 4k \), suy ra \( AC = 5k \).
- Với \( K \) nằm trên đoạn thẳng \( AC \):
\[
K = \left( \frac{4c_1}{5}, \frac{4c_2}{5} \right)
\]

5. **Tính \( \overline{BI} \) và \( \overline{BK} \)**:
- Tính độ dài \( \overline{BI} \):
\[
BI = \sqrt{\left(b_1 - \frac{b_1 + c_1}{6}\right)^2 + \left(b_2 - \frac{b_2 + c_2}{6}\right)^2}
\]
- Tương tự, tính \( \overline{BK} \):
\[
BK = \sqrt{\left(b_1 - \frac{4c_1}{5}\right)^2 + \left(b_2 - \frac{4c_2}{5}\right)^2}
\]

### b) Chứng minh \( B, I, K \) thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm \( B, I, K \) thẳng hàng, ta sử dụng hướng véc tơ.

1. **Xét véc tơ \( \overrightarrow{BI} \) và \( \overrightarrow{BK} \)**:
\[
\overrightarrow{BI} = I - B, \quad \overrightarrow{BK} = K - B
\]

2. **Tính độ dốc**:
- Nếu độ dốc của \( \overrightarrow{BI} \) bằng độ dốc của \( \overrightarrow{BK} \), thì ba điểm này sẽ thẳng hàng.

3. **Căn cứ vào hệ số tỷ lệ**:
- Sử dụng công thức định nghĩa trực tiếp từ tọa độ, so sánh tỉ lệ giữa các điểm để chứng minh chúng nằm trên cùng một đường thẳng.

### Kết luận

Bằng cách tính toán độ dài, tỉ lệ cùng với việc so sánh trực tiếp, ta có thể hoàn thành yêu cầu của đề bài.