Để tìm nghiệm của phương trình mà bạn đưa ra:

\[ X^2 + y^2 + 6x + 2023x^2 + y^2 + 6x + 2023 = 0 \]

Đầu tiên, chúng ta có thể nhóm lại các hạng tử. Bắt đầu với các hạng tử theo biến \( x \) và \( y \):

\[
(1 + 2023)x^2 + (1 + 1)y^2 + (6 + 6)x + 2023 = 0
\]

Rút gọn:

\[
2024x^2 + 2y^2 + 12x + 2023 = 0
\]

Bây giờ, chúng ta không thể có nghiệm của phương trình này nếu không kiểm tra điều kiện nghiệm.

Chúng ta sẽ phân tích hơn về các hạng tử. Trước tiên, hãy xem xét phần \( 2024x^2 + 2y^2 + 12x + 2023 \).

Để thuận lợi hơn trong việc tìm nghiệm, ta có thể hoàn thành bình phương cho phần \( x \):

\[
2024 \left( x^2 + \frac{12}{2024}x \right) + 2y^2 + 2023 = 0
\]

Hoàn thành bình phương cho \( x \):

\[
2024 \left( \left( x + \frac{6}{2024} \right)^2 - \left( \frac{6}{2024} \right)^2 \right) + 2y^2 + 2023 = 0
\]

Cải biến:

\[
2024 \left( x + \frac{6}{2024} \right)^2 - \frac{36}{2024} + 2y^2 + 2023 = 0
\]

Tiếp tục:

\[
2024 \left( x + \frac{6}{2024} \right)^2 + 2y^2 + 2023 - \frac{36}{2024} = 0
\]

Bây giờ, viết lại:

\[
2024 \left( x + \frac{6}{2024} \right)^2 + 2y^2 + 2023 - 0.0178 = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm, các phần \( 2024(x + \frac{6}{2024})^2 \) và \( 2y^2 \) phải cùng âm.

Tuy nhiên, rõ ràng là \( 2024(x + \frac{6}{2024})^2 \) và \( 2y^2 \) đều không thể âm (vì bình phương luôn không âm). Vì vậy, không có khả năng nghiệm nào cho phương trình ban đầu.

Kết luận: Phương trình \( X^2 + y^2 + 6x + 2023x^2 + y^2 + 6x + 2023 = 0 \) không có nghiệm thực.