Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi I là giao điểm AC và BD. Kẻ IH vuông góc với AB; IK vuông góc với AD (H∈AB;K∈AD).
a) Chứng minh tứ giác AHIK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng IA.IC = IB.ID.
c) Chứng minh rằng tam giác HIK và tam giác BCD đồng dạng.
d) Gọi S là diện tích tam giác ABD, S’ là diện tích tam giác HIK. Chứng minh rằng: S'S≤HK24.AI2
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a) Tứ giác AHIK có:
AHI^=900 (IH⊥AB)AKI^=900 (IK⊥AD)⇒AHI^+AKI^=1800
=> Tứ giác AHIK nội tiếp.
b) ∆IAD và ∆IBC có:
A^1=B^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DC của (O))
AID^=BIC^ (2 góc đối đỉnh)
=> ∆IAD ~ ∆IBC (g.g)
⇒IAIB=IDIC⇒IA.IC=IB.ID
c, Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHIK cóK^1=D^1
A^1=H^1 (2 góc nội tiếp cùng chắn cung IK)
mà A^1=B^1⇒H^1=B^1
Chứng minh tương tự, ta được K^1=D^1
∆HIK và ∆BCD có: H^1=B^1 ; K^1=D^1
=> ∆HIK ~ ∆BCD (g.g)
d) Gọi S1 là diện tích của ∆BCD.
Vì ∆HIK ~ ∆BCD nên:
S'S1=HK2BD2=HK2(IB+ID)2≤HK24IB.ID=HK24IA.IC (1)
Vẽ AE⊥BD , CF⊥BD⇒AE//CF⇒CFAE=ICIA
∆ABD và ∆BCD có chung cạnh đáy BD nên:
S1S=CFAE⇒S1S=ICIA (2)
Từ (1) và (2) suy ra
S'S1⋅S1S≤HK24IA.IC⋅ICIA⇔S'S≤HK24IA2 (đpcm)
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |