Để cân bằng phương trình hóa học: \( \text{Fe}_3\text{O}_4 + \text{Al} + \text{HNO}_3 \rightarrow \text{Fe(NO}_3)_3 + \text{Al(NO}_3)_3 + \text{N}_2\text{O} + \text{N}_2 + \text{H}_2\text{O} \) với tỉ lệ \( \text{N}_2\text{O} : \text{N}_2 = 1:2 \), ta sẽ tiến hành các bước sau:

1. **Viết phản ứng không cân bằng**:
\[ \text{Fe}_3\text{O}_4 + \text{Al} + \text{HNO}_3 \rightarrow \text{Fe(NO}_3)_3 + \text{Al(NO}_3)_3 + \text{N}_2\text{O} + \text{N}_2 + \text{H}_2\text{O} \]

2. **Đánh giá số nguyên tử**:
- Từ \( \text{Fe}_3\text{O}_4 \) có:
- 3 Fe (sắt)
- 4 O (oxi)
- Chúng ta cần thay thế số lượng Fe từ phản ứng sản phẩm \( \text{Fe(NO}_3)_3 \). Mỗi phân tử \( \text{Fe(NO}_3)_3 \) cung cấp 1 Fe.

3. **Tìm ẩn số đại diện cho các sản phẩm**:
Giả sử:
- Số phân tử của \( \text{N}_2 = x \)
- Số phân tử của \( \text{N}_2\text{O} = 2x \)

Từ tỉ lệ \( \text{N}_2\text{O} : \text{N}_2 = 1:2 \).

4. **Cân bằng N và O**:
- Nitơ từ sản phẩm:
- Số mol N từ \( \text{N}_2 = 2x \)
- Số mol N từ \( \text{N}_2\text{O} = x \)

Tổng số mol N là \( 2x + x = 3x \).

- Nitơ từ \( \text{HNO}_3 \):
Giả sử số mol \( \text{HNO}_3 = a \)
Tổng số mol N trong \( a \text{HNO}_3\) là \( a \) (mỗi \( \text{HNO}_3 \) có 1 N).

5. **Cân bằng số nguyên tử**:
Theo điều này, ta có PT sau:
\[
a = 3x
\]

6. **Tiếp tục từ Fe, Al**, và O:
- Sắt:
Từ \( \text{Fe}_3\text{O}_4 \), tổng số Fe trong sản phẩm là:
\[ 3 = c + d \]
với \( c \) là số mol của \( \text{Fe(NO}_3)_3 \).

- Nhôm:
Số lượng nhôm là đồng nhất, với \( d \):
\[ b = d \]

7. **Tính lượng oxy**:
Cân bằng Oxy.
- Tổng lượng Oxy trong sản phẩm:
Có từ \( \text{NO}_2 \), \( \text{H}_2\text{O} \) ( tính từ số mol cho trước)

8. Và cân bằng lượng H (H2O):
Bằng cách thiết lập các hệ phương trình với được sự bù tất cả các phần tử, cuối cùng bạn sẽ đưa ra:
\[
\text{Tổng phương trình}
\text{Fe}_3\text{O}_4 + 8\text{Al} + 16\text{HNO}_3 \rightarrow 3\text{Fe(NO}_3)_3 + 3\text{Al(NO}_3)_3 + 2\text{N}_2\text{O} + 4\text{N}_2 + 8\text{H}_2\text{O}
\]

Phương trình đã cân bằng với tỉ lệ sản phẩm như đề bài yêu cầu.