Giả sử 3 không phải là số vô tỉ. Khi đó tồn tại các số nguyên a và b sao cho 3 = a/b với b > 0. Hai số a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Ta có: 32=a/b2 hay a2=3b2 (1)

Kết quả trên chứng tỏ a chia hết cho 3, nghĩa là ta có a = 3c với c là số nguyên.

Thay a = 3c vào (1) ta được: 3c2=3b2 hay b2=3c2

Kết quả trên chứng tỏ b chia hết cho 3.

Hai số a và b đều chia hết cho 3, trái với giả thiết a và b không có ước chung nào khác 1 và -1.

Vậy 3 là số vô tỉ.