Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 \) với các ràng buộc cho trước, ta cần xác định miền khả thi cho \( x \) và \( y \).

### Các điều kiện:
1. \( 0 \leq y \leq 4 \)
2. \( x \geq 0 \)
3. \( x - y - 1 \leq 0 \) (tương đương \( x \leq y + 1 \))
4. \( x + 2y - 10 \leq 0 \) (tương đương \( x \leq 10 - 2y \))

### Bước 1: Xác định miền khả thi
Từ các điều kiện trên, chúng ta có:

- Từ điều kiện \( x \leq y + 1 \):
- \( x \) bị giới hạn bởi \( y + 1 \).

- Từ điều kiện \( x \leq 10 - 2y \):
- \( x \) bị giới hạn bởi \( 10 - 2y \).

### Bước 2: Vẽ miền khả thi
Vẽ các đường biểu diễn các điều kiện trên:

- Từ \( y = 0 \) tới \( y = 4 \) (trục y từ 0 đến 4).
- Từ \( x = 0 \) (trục x).
- Đường \( x = y + 1 \) và đường \( x = 10 - 2y \) sẽ cắt nhau tại một số điểm, vét lại miền giới hạn.

### Bước 3: Tính toán
Tại miền hợp lệ, xác định các điểm cực trị.

- Tại \( y = 0 \):
- \( x \leq 1 \) và \( x \leq 10 \), đưa đến \( x \) tối đa là 1.
- Tại \( y = 4 \):
- \( x \leq 5 \) và \( x \leq 2 \), đưa đến \( x \) tối đa là 2.

### Giá trị tại các đỉnh:
- Điểm \( (0, 0) \): \( P = 0^2 + 0^2 = 0 \)
- Điểm \( (1, 0) \): \( P = 1^2 + 0^2 = 1 \)
- Điểm \( (2, 4) \): \( P = 2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \)

### Kết luận
Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = x^2 + y^2 \) trong miền cho trước là \( \boxed{20} \) tại điểm \( (2, 4) \).