Giải phương trình: (sin^4a - cos^4a)/(1 + 2sina * cosa) = (tana - 1)/(tana + 1)

Để giải phương trình:

$$\frac{\sin^4 a - \cos^4 a}{1 + 2 \sin a \cos a} = \frac{\tan a - 1}{\tan a + 1}$$

Ta có thể sử dụng các công thức biến đổi về lượng giác. Đầu tiên, ta nhớ rằng:

$$\sin^4 a - \cos^4 a = (\sin^2 a - \cos^2 a)(\sin^2 a + \cos^2 a) = (\sin^2 a - \cos^2 a)$$

vì $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$.

Vũ trụ ta đã có phương trình trở thành:

$$\frac{(\sin^2 a - \cos^2 a)}{1 + 2 \sin a \cos a} = \frac{\tan a - 1}{\tan a + 1}$$

Sử dụng $\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}$, ta có:

$$\tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}$$

Giờ đây, ta sẽ biện luận phương trình ở hai vế.

1. **Tính xác định**:

Bên trái, ta cần đảm bảo rằng $1 + 2 \sin a \cos a \neq 0$, tức là $1 + \sin(2a) \neq 0$, điều này xảy ra khi $\sin(2a) \neq -1$. Kết quả này sẽ cho ta các giá trị hợp lệ cho $a$.

Bên phải, $\tan a$ không xác định khi $\cos a = 0$. Điều này xảy ra khi $a = \frac{\pi}{2} + k \pi$, với $k \in \mathbb{Z}$.

2. **Đơn giản hóa**:

Ta có thể viết lại $\sin^2 a - \cos^2 a$ theo $\tan$:

$$\sin^2 a - \cos^2 a = \frac{\sin^2 a - \cos^2 a}{\cos^2 a} \cdot \cos^2 a = \tan^2 a - 1$$

Sau khi đó, một phần rất cơ bản của điều này là việc quy đổi về biến $x = \tan a$. Phương trình giờ chuyển thành:

$$\frac{x^2 - 1}{1 + 2\frac{x}{1+x^2}} \text{ đúng khi } 1 + 2x \neq 0$$

Do không thể chuyển tiếp thêm lên phần này, ta có thể giải biện bằng cách thay thế ẩn hoặc tìm điều kiện cần thiết để có nghiệm cho phương trình đã cho.

**Tóm tắt giải pháp**:

- Đề xuất bắt đầu làm quen với nhận biết về tan, sin, và cos để thiêu chuẩn hóa các phần tử;
- Biến đổi cần dành cho hay là có thể truyền dẫn lên từng điều kiện của ẩn.

**Kết quả cụ thể** sẽ từ tính toán cho ra kèm điều kiện restrict trên $a$ phụ thuộc tập hợp nghiệm cho trái với công thức tường minh xổ mà ta có thể sử dụng.

Vậy bài toán này yêu cầu giải hằng số phụ thuộc n, với các biến giản thức trên quen thuộc về lượng giác.