Để chứng minh đẳng thức

\[
\frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cot^2 a - \tan^2 a} = \sin^2 a \cdot \cos^2 a,
\]

trước tiên chúng ta cần viết lại các biểu thức trong đẳng thức qua các hàm cơ bản.

1. **Biểu thức \( \cot^2 a - \tan^2 a \)**:

Chúng ta biết rằng:

\[
\cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \quad \text{và} \quad \tan a = \frac{\sin a}{\cos a}.
\]

Từ đó, ta có:

\[
\cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a}, \quad \tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}.
\]

Do đó,

\[
\cot^2 a - \tan^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} - \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}.
\]

Đưa về cùng mẫu số, ta có:

\[
\cot^2 a - \tan^2 a = \frac{\cos^4 a - \sin^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}.
\]

2. **Thay vào biểu thức ban đầu**:

Thay thế vào đẳng thức mà chúng ta cần chứng minh:

\[
\frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cot^2 a - \tan^2 a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\frac{\cos^4 a - \sin^4 a}{\sin^2 a \cos^2 a}}.
\]

Đưa phân số thành dạng tích, ta nhận được:

\[
= (\cos^2 a - \sin^2 a) \cdot \frac{\sin^2 a \cos^2 a}{\cos^4 a - \sin^4 a}.
\]

3. **Biểu thức \( \cos^4 a - \sin^4 a \)**:

Sử dụng hằng đẳng thức một hiệu của hai bình phương:

\[
\cos^4 a - \sin^4 a = (\cos^2 a - \sin^2 a)(\cos^2 a + \sin^2 a).
\]

Vì \(\cos^2 a + \sin^2 a = 1\), ta có:

\[
\cos^4 a - \sin^4 a = (\cos^2 a - \sin^2 a).
\]

4. **Chúng ta có kết quả cuối cùng**:

Thay vào biểu thức trên, ta được:

\[
= (\cos^2 a - \sin^2 a) \cdot \frac{\sin^2 a \cos^2 a}{(\cos^2 a - \sin^2 a)}.
\]

Nếu \((\cos^2 a - \sin^2 a) \neq 0\) (tránh trường hợp đặc biệt khi \(a = \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}\)), chúng ta có thể rút gọn và kết quả là:

\[
= \sin^2 a \cdot \cos^2 a.
\]

Cuối cùng, ta đã chứng minh rằng

\[
\frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\cot^2 a - \tan^2 a} = \sin^2 a \cdot \cos^2 a.
\]

Vậy chứng minh đẳng thức trên đã hoàn thành.