Để tìm các cặp số nguyên tố \( p \) và \( q \) sao cho \( p^q + q^p \) là số nguyên tố, ta có thể thử một số giá trị nhỏ của \( p \) và \( q \).

1. **Cặp \( (2, 2) \)**:
\[
2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

2. **Cặp \( (2, 3) \)**:
\[
2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17 \quad \text{(là số nguyên tố)}
\]

3. **Cặp \( (3, 2) \)**:
\[
3^2 + 2^3 = 9 + 8 = 17 \quad \text{(là số nguyên tố)}
\]

4. **Cặp \( (3, 3) \)**:
\[
3^3 + 3^3 = 27 + 27 = 54 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

5. **Cặp \( (2, 5) \)**:
\[
2^5 + 5^2 = 32 + 25 = 57 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

6. **Cặp \( (5, 2) \)**:
\[
5^2 + 2^5 = 25 + 32 = 57 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

7. **Cặp \( (3, 5) \)**:
\[
3^5 + 5^3 = 243 + 125 = 368 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

8. **Cặp \( (5, 3) \)**:
\[
5^3 + 3^5 = 125 + 243 = 368 \quad \text{(không phải là số nguyên tố)}
\]

Từ các phép thử trên, ta có các cặp \( (2, 3) \) và \( (3, 2) \) cho \( p^q + q^p \) là số nguyên tố.

Vậy các cặp các số nguyên tố \( p \) và \( q \) là \( (2, 3) \) và \( (3, 2) \).