Để giải phương trình \( \frac{12^{30}}{216^{(n+1)}} = 8^{10} \), ta sẽ thay đổi tất cả các số này về cơ số nguyên tố.

1. **Phân tích các số:**
- \( 12 = 2^2 \cdot 3^1 \), nên \( 12^{30} = (2^2 \cdot 3^1)^{30} = 2^{60} \cdot 3^{30} \).
- \( 216 = 2^3 \cdot 3^3 \), nên \( 216^{(n+1)} = (2^3 \cdot 3^3)^{(n+1)} = 2^{3(n+1)} \cdot 3^{3(n+1)} \).
- \( 8 = 2^3 \), nên \( 8^{10} = (2^3)^{10} = 2^{30} \).

2. **Thay vào phương trình:**
\[
\frac{2^{60} \cdot 3^{30}}{2^{3(n+1)} \cdot 3^{3(n+1)}} = 2^{30}
\]

3. **Đơn giản hóa:**
\[
2^{60 - 3(n+1)} \cdot 3^{30 - 3(n+1)} = 2^{30}
\]
\[
3^{30 - 3(n+1)} = 3^0 \quad \text{(do không có \( 3 \) bên phải)}
\]

4. **Giải các phương trình:**
- Đối với cơ số 3:
\[
30 - 3(n + 1) = 0 \Rightarrow 30 = 3(n + 1)
\]
\[
10 = n + 1 \Rightarrow n = 9
\]

- Đối với cơ số 2:
\[
60 - 3(n + 1) = 30 \Rightarrow 60 - 30 = 3(n+1)
\]
\[
30 = 3(n + 1) \Rightarrow 10 = n + 1 \Rightarrow n = 9
\]

5. **Kết luận:**
Số tự nhiên \( n \) cần tìm là:
\[
\boxed{9}
\]