Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}X \equiv 3\left( {\bmod \,13} \right)\\X \equiv 4\left( {\bmod \,29} \right)\\X \equiv 3\left( {\bmod \,37} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra: X ≡ 5 775 (mod 13949)

⇒ X = 5 775 + 13949.t

Vì X là số nhỏ nhất có 11 chữ số nên X ≥ 10¹⁰

⇒ 5775 + 13949.t ≥ 10¹⁰

⇒ t ≥ \(\frac{{{{10}^{10}} - 5775}} \approx 716896,8546\)

Để X nhỏ nhất thì t cũng nhỏ nhất

Do đó ta chọn t = 716 897

Vậy số nhỏ nhất X thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

 X = 5 775 + 13 949 . 716 897 = 10 000 002 028.