n⁵ – n = n(n⁴ – 1)

= n(n² – 1)(n² + 1)

= n(n – 1)(n + 1)(n² + 1)

= n(n – 1)(n + 1)(n² – 4 + 5)

= n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1)

Vì n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) chia hết cho 5

Và 5n(n – 1)(n +1) chia hết cho 5

Nên: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 5 (1)

Lại có: n(n – 1)(n + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Suy ra: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 6 (2)

Từ (1) và (2) ta có: n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2) + 5n(n – 1)(n +1) ⋮ 30

Vậy n⁵ – n chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.