Gọi năng suất làm việc của người thứ nhất là \( \frac{1}{x} \) (phần việc hoàn thành trong 1 giờ) và năng suất của người thứ hai là \( \frac{1}{y} \), trong đó \( y \) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc.

Khi cả hai cùng làm, họ hoàn thành công việc trong 8 giờ, vậy tổng năng suất của cả hai là:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}
\]

Trong 4 giờ đầu tiên, cả hai cùng làm việc, nên phần công việc hoàn thành là:

\[
4 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}
\]

Vậy sau 4 giờ, còn lại \( 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) công việc.

Người thứ nhất rời đi, người thứ hai tiếp tục làm trong 12 giờ. Khi đó, phần công việc người thứ hai thực hiện trong 12 giờ là:

\[
12 \cdot \frac{1}{y}
\]

Vì sau 12 giờ, công việc hoàn thành đủ phần còn lại, cho nên:

\[
12 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2}
\]

Từ đó ta có thể tìm \( y \):

\[
12 \cdot \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \implies \frac{12}{y} = \frac{1}{2} \implies 12 = \frac{y}{2} \implies y = 24
\]

Giờ ta đặt lại phương trình đầu tiên:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{24} = \frac{1}{8}
\]

Giải phương trình này để tìm \( x \):

\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24}
\]

Tìm mẫu số chung để trừ các phân số:

\[
\frac{1}{8} = \frac{3}{24} \quad \text{và} \quad \frac{1}{24} = \frac{1}{24}
\]

Vậy:

\[
\frac{1}{x} = \frac{3}{24} - \frac{1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}
\]

Suy ra:

\[
x = 12
\]

Kết luận: Thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là \( x = 12 \) giờ.