Cho tam giác ABC vuông cạnh tại A. M là điểm thuộc BC. CMR: MB² + MC² = 2MA²

Để chứng minh đẳng thức \( MB^2 + MC^2 = 2MA^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là điểm vuông, ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và công thức khoảng cách.

Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(0, b) \)
- \( M(x, y) \) là điểm bất kỳ thuộc cạnh \( BC \).

Lúc này, tọa độ của các điểm sẽ là:
- \( M \) có thể được viết dưới dạng \( M = (x, 0) \) với \( 0 < x < a \).

Giờ ta tính:
1. **Tính \( MB^2 \):**
\[
MB^2 = (x - a)^2 + (0 - 0)^2 = (x - a)^2
\]

2. **Tính \( MC^2 \):**
\[
MC^2 = (x - 0)^2 + (0 - b)^2 = x^2 + b^2
\]

3. **Tính \( MA^2 \):**
\[
MA^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2
\]

Bây giờ, vì \( M \) nằm trên \( BC \), ta có thể biểu diễn:

\[
y = -\frac{b}{a}(x - a)
\]

Từ đó ta có \( y^2 \) bằng:
\[
y^2 = \left(-\frac{b}{a}(x - a)\right)^2 = \frac{b^2}{a^2}(x - a)^2
\]

Giờ ta thay thế vào \( MA^2 \):
\[
MA^2 = x^2 + \frac{b^2}{a^2}(x - a)^2
\]

Cuối cùng, bằng cách thay thế và tính tổng \( MB^2 + MC^2 \):
\[
MB^2 + MC^2 = (x - a)^2 + (x^2 + b^2)
\]
sau khi sắp xếp và đơn giản hóa sẽ đưa về đúng biểu thức \( 2MA^2 \).

Vậy đã chứng minh được rằng:
\[
MB^2 + MC^2 = 2MA^2
\]