Cho x, y là các số thực dương, với x+y+z=2024. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = \frac{x^2}{x^2 + xy + xz} + \frac{y^2}{y^2 + yz + xy} + \frac{z^2}{z^2 + zx + yz}
\]

với điều kiện \(x + y + z = 2024\), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2
\]

Áp dụng cho các số \(a_i\) là \(x, y, z\) và \(b_i\) là \( \frac{1}{x^2 + xy + xz}, \frac{1}{y^2 + yz + xy}, \frac{1}{z^2 + zx + yz} \).

Ta có

\[
P \geq \frac{(x + y + z)^2}{(x^2 + xy + xz) + (y^2 + yz + xy) + (z^2 + zx + yz)}
\]

Tính tổng trong mẫu số:

\[
x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx
\]

Theo bất đẳng thức cơ bản (bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) giữa \(x^2 + y^2 + z^2\) và \(xy + yz + zx\), ta có:

\[
x^2 + y^2 + z^2 \geq \frac{(x + y + z)^2}{3} = \frac{2024^2}{3}
\]

Giả sử \(x = y = z\). Khi đó, \(3x = 2024\), suy ra \(x = 674.67\).

Ta thay vào biểu thức để tối ưu hóa:

Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = y = z = \frac{2024}{3}\).

Thực hiện tính toán cụ thể để tìm giá trị của \(P\):

Sau khi tìm được cùng giá trị cho \(x, y, z\), chúng ta có thể dễ dàng tính:

\[
P_{\text{min}} = 1
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\) là \(1\).