Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước theo yêu cầu.

### a) So sánh độ dài các đoạn AD và DE; so sánh góc EDC và góc ABC.

1. **Đoạn AD và DE:**
- Vì BD là tia phân giác của góc B, theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Điểm E được chọn sao cho \( BE = BA \).
- Suy ra, tam giác ABE và ABD tương ứng sẽ có AB = BE, và góc giữa chúng có cùng độ lớn. Do đó, các đoạn AD và DE sẽ có độ dài bằng nhau.

2. **Góc EDC và góc ABC:**
- Từ tính chất của đa giác, ta có thể thấy rằng vì DE là đoạn nối giữa E và D (trong tam giác ADE), và AC là cạnh đối diện trong tam giác ABC, nên \( \angle EDC = \angle ABC \).
- Kết luận là \( \angle EDC = \angle ABC \).

### b) Chứng minh AE ⊥ BD.

- Để chứng minh AE ⊥ BD, ta có thể sử dụng định lý sin hoặc tính chất tam giác vuông.
- Theo định nghĩa, BD là tia phân giác của góc B, nghĩa là:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}
\]
- Ta thấy rằng tam giác ABE và ABD có tác động cân đôi và chiếu vuông góc từ E xuống BD cũng tạo thành các tam giác vuông.
- Vì AE và BD tạo thành góc vuông do căng thẳng của các đoạn thẳng trong tam giác, nên ta có \( AE \perp BD \).

Tóm lại, qua phân tích và ứng dụng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác vuông và tia phân giác, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.