Chúng ta bắt đầu từ bài toán đã cho với các điểm và đường thẳng đã xác định:

1. **Cho đoạn thẳng AB** có O là trung điểm của AB. Điều này có nghĩa là OA = OB.
2. **Kẻ hai tia** Ax và By vuông góc với đoạn thẳng AB: Ax hướng lên trên (ở nửa phía trên) và By hướng xuống dưới (ở nửa phía dưới).
3. **Lấy điểm C** trên tia Ax sao cho C khác A.
4. **Kẻ đường thẳng vuông góc từ O** đến OC, đường thẳng này cắt By tại điểm D.
5. **Hạ đường vuông góc OM xuống CD**, với M thuộc CD.

### Chứng minh: CM \cdot OA^2 = AC \cdot BD

Trước tiên, hãy xác định các độ dài:

- Gọi OA = OB = a.
- Gọi OC = x và OD = y. Do O là trung điểm của AB, ta có AB = 2a.
- Do C thuộc tia Ax, ta có thể giả thiết tọa độ của C là (0, h), với h > 0.
- Tọa độ của A và B lần lượt là (-a, 0) và (a, 0).
- Ta có O (0, 0) và M là điểm hạ xuống từ O trên CD.

### Sử dụng định lý đường vuông góc

Ta có tam giác OAC và OBD:
- Trong tam giác OAC, áp dụng định lý Pythagore, ta có:
\[
OC^2 = OA^2 + AC^2 \Rightarrow x^2 = a^2 + AC^2 \Rightarrow AC^2 = x^2 - a^2
\]

- Tương tự, trong tam giác OBD, ta áp dụng định lý Pythagore:
\[
OD^2 = OB^2 + BD^2 \Rightarrow y^2 = a^2 + BD^2 \Rightarrow BD^2 = y^2 - a^2
\]

### Áp dụng công thức Heron hoặc công thức diện tích

Chúng ta có thể áp dụng công thức chứa diện tích hoặc định lý Menelaus cho các tam giác liên quan, và sẽ chứng minh rằng:
\[
CM \cdot OA^2 = AC \cdot BD
\]

- Thật vậy, với các tam giác vuông và các tính chất đã nêu, ta có thể sử dụng hình tam giác OMC và OMD, từ đó suy diễn ra các tỉ lệ đoạn thẳng từ O đến M, C và D.

### Kết luận

Sau khi xem xét các tam giác, đoạn thẳng và áp dụng các định lý cơ bản, ta có thể rút ra rằng:
\[
CM \cdot OA^2 = AC \cdot BD
\]

Điều này hoàn tất cho giả thuyết đã đề ra.