a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực nên OM⊥AB.

Lại có AH⊥BC (H là trực tâm) nên AH // OM.

Tương tự, BH // ON.

Do đó MON^=AHB^ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét tam giác BAC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

Do đó MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AB, MN=12AB.

Suy ra OMN^=HAB^ (hai góc tạo bởi hai đường thẳng song song)

Xét ΔOMN và ΔHAB có:

MON^=AHB^ và OMN^=HAB^ 

Do đó ΔOMN∽ΔHAB (g.g).

b) Vì ΔOMN∽ΔHAB (câu a) nên OMHA=NOHB=MNAB=12 (tỉ số cạnh tương ứng) (1)

Vì G là trọng tâm của ΔABC, AM là trung tuyến nên AGGM=2, hay GMAG=12  (2)

Từ (1); (2) suy ra GMAG=OMAH.

Xét ΔGOM và ΔGHA có:

GMAG=OMAH và OMG^=HAG^ (so le trong của AH // OM)

Do đó ΔGOM∽ΔGHA (c.g.c).

c) Vì ΔGOM∽ΔGHA (câu b) nên OGM^=HGA^ (hai góc tương ứng).

Mà HGM^+HGA^=180° (kề bù) nên HGM^+OGM^=180°. 

Do đó 3 điểm O; G; H thẳng hàng.

Mặt khác, ΔGOM∽ΔGHA nên GOGH=GMGA=12, suy ra GH=2GO.