Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I. a) Chứng minh tứ giác AKHI nội tiếp. b) Gọi E là giao điếm của AH với KI Chứng minh rằng EA⋅EH=EK⋅EI. c) Chứng minh KJ vuông góc với AO. d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây cung BC thay đổi sao cho AB⋅AC=3R2. Xác định vị trí của dây cung BC sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O;R) . Kẻ AH vuông góc với BC tại H, HK vuông góc với AB tại K và HI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác AKHI nội tiếp.

b) Gọi E là giao điếm của AH với KI Chứng minh rằng EA⋅EH=EK⋅EI.

c) Chứng minh KJ vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây cung BC thay đổi sao cho AB⋅AC=3R2. Xác định vị trí của dây cung BC sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

1 Xem trả lời
Hỏi chi tiết
67
0
0
Nguyễn Thị Sen
10/09 20:40:01

a) Ta có: AKH^=90° (vì HK⊥AB tại K);

AIH^=90° (vì HI⊥AC tại I)

Xét tứ giác AKHI có:

AKH^+AIH^=90°+90°=180°, mà hai góc này ở vị trí đối nhau.

Vậy tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn.

b) Vì tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn (cmt) nên HKI^=HAI^ (hai góc nội tiếp cùng chắn HI⏜)

Hay HKE^=IAE^.

Xét ΔEKH và ΔEAI có: KEH^=AEI^ (hai góc đối đỉnh) và HKE^=IAE^

Do đó: ΔEKH∽ΔEAI (g.g) ⇒EKEA=EHEI⇒EA⋅EH=EK⋅EI.

c) Kẻ đường kính AF của đường tròn (O;R); Gọi J là giao điểm của KI và AO.

Xét đường tròn (O;R) có F1^=B1^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC (1) 

Lại có B1^=H1^ (vì cùng phụ với H2^) (2)

Vì tứ giác AKHI nội tiếp đường tròn (cmt)

nên H1^=I1^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: F1^=I1^.

Mà trong đường tròn (O;R) có: ACF^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Hay A1^+F1^=90°    4.  

Từ (3) và (4) suy ra A1^+I1^=90°⇒AJI^=90°.

Vậy KI vuông góc với AO.

d) Giả sử điểm A và đường tròn (O;R) cố định, còn dây BC thay đổi sao cho AB⋅AC=3R2.

Có ACF^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

ABH^=AFC^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC⏜ của đường tròn O;R.

Xét ΔAHB và ΔACF có: AHB^=ACF^=90° và ABH^=AFC^.

Do đó: ΔAHB∽ΔACF (g.g). Suy ra AHAC=ABAF⇒AH=AB⋅ACAF=3R22R=3R2.

Ta có: SABC=12AH⋅BC=12⋅3R2⋅BC=3R4⋅BC.

Do R không đổi nên SABC lớn nhất ⇔BC lớn nhất.

Gọi M là trung điểm của BC thì OM⊥BC. Do đó BC lớn nhất ⇔OM bé nhất.

Ta có OM≥AM−AO≥AH−AO=3R2−R=R2.

OM bé nhất bằng R2⇔A,O,M thẳng hàng và H≡M.

Khi đó AH=AM=AO+OM=R+R2=3R2

Vậy diện tích ΔABC lớn nhất khi BC cách A một khoảng bằng 3R2(ΔABC đều).

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Câu hỏi liên quan

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k
Gửi câu hỏi
×