Cho 3 số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 9 và a^2 + b^2 + c^2 = 27. Tính a = (a-2)^2022 + (b-3)^2023 + (c-4)^2024

Chúng ta có 3 số thực \( a, b, c \) thỏa mãn:

\[
a + b + c = 9 \quad (1)
\]

\[
a^2 + b^2 + c^2 = 27 \quad (2)
\]

Từ (1), ta có \( b + c = 9 - a \). Thay \( b + c \) vào (2), ta được:

\[
a^2 + (b + c)^2 - 2bc = 27
\]

Khai triển \( (b + c)^2 \):

\[
= a^2 + (9 - a)^2 - 2bc = 27
\]

Khai triển \( (9 - a)^2 \):

\[
= a^2 + (81 - 18a + a^2) - 2bc = 27
\]

Rút gọn lại:

\[
2a^2 - 18a + 81 - 2bc = 27
\]

Nghĩa là:

\[
2a^2 - 18a + 54 - 2bc = 0
\]

Sắp xếp lại:

\[
2a^2 - 18a + 54 = 2bc \quad (3)
\]

Ta có biểu thức thứ ba mà chúng ta cần sử dụng sau.

Áp dụng công thức \( a^2 + b^2 + c^2 \):

\[
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)
\]

Ta chuyển đổi (2) thành:

\[
27 = 9^2 - 2(ab + ac + bc)
\]

\[
27 = 81 - 2(ab + ac + bc)
\]

Suy ra:

\[
2(ab + ac + bc) = 54 \Rightarrow ab + ac + bc = 27 \quad (4)
\]

Bây giờ, từ (3) và (4), ta sẽ xử lý kết quả để tìm giá trị của \( a \).

Từ (3):

\[
2bc = 2a^2 - 18a + 54
\]
Thay \( bc \) từ (4) vào (4):

\[
b + c = 9 - a
\]

Đặt \( b + c = x \), có thể có:

1. Từ (1) ta có hệ 3 số \( a, b, c \).

Ta sẽ cố định một số giá trị cho a, b để tìm giá trị của c

Thí dụ: Một số nghiệm có thể là \( a = 3, b = 3, c = 3 \) thì \( a + b + c = 9\) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 27\)

Vậy thử nghiệm cho \( a = 3, b = 3, c = 3 \) :

\[
(3-2)^{2022} + (3-3)^{2023} + (3-4)^{2024}
\]

\[
1^{2022} + 0^{2023} + (-1)^{2024} = 1 + 0 + 1 = 2
\]

Vậy kết luận cho các giá trị của \( a, b, c \):

\[
\boxed{2}
\]

Giá trị này thỏa mãn các điều kiện đã cho.