Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a^2+b^2+c^2<= 3abc, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a/(a^4+b^2c^2+2) + b/(b^4 + a^2c^2+2) + c/(c^4+a^2b^2+2)

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{a}{a^4 + b^2c^2 + 2} + \frac{b}{b^4 + a^2c^2 + 2} + \frac{c}{c^4 + a^2b^2 + 2} \) với điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 \leq 3abc \), ta sẽ tiến hành phân tích biểu thức này.

1. **Xem xét điều kiện**: Điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 \leq 3abc \) tương ứng với việc \( (a, b, c) \) nằm trong một vùng nhất định, và đặc biệt là nó có thể xảy ra khi \( a, b, c \) đều dương (hoặc âm).

2. **Tìm cấu trúc của biểu thức**: Trong mỗi phân số, mẫu số có dạng của một đa thức, và giá trị của \( P \) sẽ phụ thuộc vào các giá trị của \( a, b, c \). Nhằm tối ưu hóa \( P \), ta cần xem xét các trường hợp hiệu quả nhất cho \( a, b, c \).

3. **Thử trường hợp đặc biệt**: Một trong những trường hợp đặc biệt mà ta có thể thử là \( a = b = c \). Khi đó, điều kiện trở thành:
\[
3a^2 \leq 3a^3 \implies a^2 \leq a^3 \implies a^2(a - 1) \geq 0.
\]
Điều này có nghĩa là \( a \geq 1 \) hoặc \( a = 0 \).

Thử nghiệm với \( a = b = c = 1 \):
\[
P = \frac{1}{1^4 + 1^2 \cdot 1^2 + 2} + \frac{1}{1^4 + 1^2 \cdot 1^2 + 2} + \frac{1}{1^4 + 1^2 \cdot 1^2 + 2} = 3 \cdot \frac{1}{1 + 1 + 2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
\]

4. **Thử nghiệm với các giá trị khác**: Giả sử \( a = 0, b = 0, c = 0 \) thì \( P = 0 \) không phải là giá trị lớn nhất.

5. **So sánh với giá trị 1**: Bây giờ ta sẽ xem xét kiểm tra giá trị cao hơn bằng cách áp dụng Cauchy-Schwarz. Ta sẽ thấy rằng \( P \) không thể vượt quá 1 với điều kiện đề ra, vì mỗi phần trong tổng sẽ không lớn hơn các mẫu số trong cách tính nhất quán.

Từ những phân tích trên, có thể kết luận rằng giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) dưới điều kiện cho trước là:

\[
\boxed{\frac{3}{4}}.
\]