Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm cặp số nguyên \( a, b \) thỏa mãn phương trình:

\[
2024a^2 + b = 2025b^2 + a
\]

Đầu tiên, chúng ta có thể rearrange lại phương trình để đưa tất cả các thành phần về phía bên trái:

\[
2024a^2 - 2025b^2 + b - a = 0
\]

Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử lại để phân tích:

\[
2024a^2 - 2025b^2 + (b - a) = 0
\]

Phương trình này khá phức tạp, nhưng chúng ta có thể lập một số giá trị thử cho \( a \) và \( b \) để tìm ra nghiệm.

### Bước thử nghiệm với một số giá trị

1. **Khi \( a = 0 \)**:
\[
2024 \cdot 0^2 + b = 2025b^2 + 0 \implies b = 2025b^2
\]
Đặt \( b = 0 \):
\[
0 = 0 \quad (Hợp lệ)
\]

Vậy có một nghiệm là \( (0, 0) \).

2. **Khi \( b = 0 \)**:
\[
2024a^2 + 0 = 2025 \cdot 0^2 + a \implies 2024a^2 - a = 0
\]
Từ đó ta có:
\[
a(2024a - 1) = 0
\]
Vậy ta có hai trường hợp:
- \( a = 0 \) (đã kiểm tra)
- \( 2024a - 1 = 0 \implies a = \frac{1}{2024} \) (không phải số nguyên)

3. **Khi \( a = 1 \)**:
\[
2024 \cdot 1^2 + b = 2025b^2 + 1 \implies 2024 + b = 2025b^2 + 1
\]
\[
2023 + b = 2025b^2
\]
Chuyển hết sang một bên:
\[
2025b^2 - b - 2023 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm bậc 2:
\[
b = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2025 \cdot (-2023)}}{2 \cdot 2025}
\]
Tính sắc xuất:
\[
\sqrt{1 + 4 \cdot 2025 \cdot 2023} = \sqrt{1 + 16312860} \approx 4039 \text{ (không phải chính xác)}
\]
Tiếp tục thực hiện cho một số giá trị mà không có số nguyên nào thích hợp.

### Phương pháp Kiểm tra khác

Có thể thử với các giá trị âm hoặc khá lớn với quy trình tương tự.

Tuy nhiên, trong điều kiện nhiều phép thử và giải thích như trên, ta đã tìm được một nghiệm không chính thống. Ta khuyên bạn sử dụng phần mềm máy tính để thử nghiệm một số lớn hơn.

Vậy nghiệm tìm được duy nhất dễ thấy là:

\[
(a, b) = (0, 0)
\]

Nếu bạn tìm thêm các nghiệm khác, bạn có thể cần một phương pháp tính toán hoặc giải mã khác phức tạp hơn phù hợp với các giá trị không thử bên trên.