Để hình chữ nhật PMQN là hình vuông thì PM = PN.

Mà ABMN là hình thoi nên ABMN cũng là hình bình hành.

Suy ra AM, BN cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường.

Mà PM = PN, suy ra AM = BN.

Hình bình hành ABMN có AM = BN nên ABMN là hình chữ nhật.

Suy ra \(\widehat {ABM} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 90^\circ \).

Hình bình hành ABCD có \(\widehat {ABC} = 90^\circ \) nên ABCD là hình chữ nhật.

Dễ thấy, nếu hình bình hành ABCD là hình chữ nhật và BC = 2AB thì PMQN là hình vuông.

Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD để PMQN là hình vuông là hình bình hành ABCD là hình chữ nhật có BC = 2AB.