Lời giải

a) Gọi I (x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với điểm m nên ta có: mx₀ + (2 – 3m)y₀ + m – 1 = 0 \(\forall m\)

⇔ m(x₀ – 3y­₀ + 1) + 2y₀ – 1 = 0 \(\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{2}\\{y_0} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

⇔ \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).

Ta có: OH ≤ OI nên OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H ≡ I hay OI ⊥ (d). Đường thẳng qua O có phương trình u = ax do \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a\).

Suy ra a = 1.

Do đó OI: y = x.

Đường thẳng (d) được viết lại như sau:

mx + (2 – 3m)y + m – 1 = 0

⇔ (2 – 3m)y = –mx + 1 – m

• Nếu \(m = \frac{2}{3}\) thì đường thẳng (d): \(x - \frac{1}{2} = 0\) song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là \(\frac{1}{2}\).

• Nếu \(m \ne \frac{2}{3}\) đường thẳng (d) có thể viết lại \(y = \frac{m}x + \frac\).

Điều kiện để (d) vuông góc với OI là: \(\frac{m}.1 = - 1\)

\( \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Khi đó \(OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).