Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a=a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – schwarz ta có:a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac
⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2 (1)
Theo hệ quả của bất đẳng thức AM – GM ta có a4a2+2ab+b4b2+2bc+c4c2+2ac≥a2+b2+c22a2+2ab+b2+2bc+c2+2ac
⇔a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c22a+b+c2
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac
⇔ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ac)
⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ 2ab + 2bc + 2ac + a2 + b2 + c2
⇔ 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23
Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c > 0
Vậy với a, b, c > 0 thì a3a+2b+b3b+2c+c3c+2a≥a2+b2+c23 .
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |