Để chứng minh \( MN \parallel ABD \) và \( MN \parallel ACD \), ta sẽ sử dụng các tính chất của trọng tâm và cách không gian trong tứ diện.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
Giả sử các điểm \( A, B, C, D \) có tọa độ trong không gian như sau:
- \( A = A(a_1, a_2, a_3) \)
- \( B = B(b_1, b_2, b_3) \)
- \( C = C(c_1, c_2, c_3) \)
- \( D = D(d_1, d_2, d_3) \)

2. **Tính tọa độ trọng tâm \( M \) và \( N \)**:
Tọa độ trọng tâm \( M \) của tam giác \( ABC \):
\[
M = \left( \frac{a_1 + b_1 + c_1}{3}, \frac{a_2 + b_2 + c_2}{3}, \frac{a_3 + b_3 + c_3}{3} \right)
\]

Tọa độ trọng tâm \( N \) của tam giác \( BCD \):
\[
N = \left( \frac{b_1 + c_1 + d_1}{3}, \frac{b_2 + c_2 + d_2}{3}, \frac{b_3 + c_3 + d_3}{3} \right)
\]

3. **Tính vectơ \( \overrightarrow{MN} \)**:
\[
\overrightarrow{MN} = N - M = \left( \frac{b_1 + c_1 + d_1}{3} - \frac{a_1 + b_1 + c_1}{3}, \frac{b_2 + c_2 + d_2}{3} - \frac{a_2 + b_2 + c_2}{3}, \frac{b_3 + c_3 + d_3}{3} - \frac{a_3 + b_3 + c_3}{3} \right)
\]
\[
= \left( \frac{d_1 - a_1}{3}, \frac{d_2 - a_2}{3}, \frac{d_3 - a_3}{3} \right)
\]

4. **Xét đường thẳng \( ABD \)**:
Vectơ \( \overrightarrow{AB} = B - A = (b_1 - a_1, b_2 - a_2, b_3 - a_3) \) và vectơ \( \overrightarrow{AD} = D - A = (d_1 - a_1, d_2 - a_2, d_3 - a_3) \).

Để kiểm tra nếu \( MN \parallel ABD \), ta cần chứng minh rằng \( \overrightarrow{MN} \) là một véc tơ tỉ lệ với véc tơ hai chiều của \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \).

5. **Chứng minh song song**:
Khi xem xét các vectơ, chúng ta thấy rằng \( \overrightarrow{MN} \) chỉ cần có tỉ lệ với cả \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AD} \) là đủ. Từ đây, dễ dàng thấy rằng:
\[
\overrightarrow{MN} = k \cdot (d - a)
\]
với \( k \in \mathbb{R} \), cho thấy các vectơ này là song song.

**Tương tự với \( ACD \)**.
Sử dụng cách tương tự, ta chứng minh được rằng \( \overrightarrow{MN} \) cũng song song với \( ACD \).

### Kết luận:
Ta đã chứng minh được rằng \( MN \parallel ABD \) và \( MN \parallel ACD \), sử dụng tính chất của trọng tâm và hệ tọa độ trong không gian.