Để chứng minh rằng \( SB \) và \( SC \) song song với mặt phẳng \( FGE \) trong hình chóp \( S.ABCD \) với đáy \( ABCD \) là hình bình hành, chúng ta có thể sử dụng các tính chất hình học của hình bình hành và tính chất của mặt phẳng.

### Tóm tắt hình học:
1. Gọi \( F \) và \( G \) lần lượt là trung điểm của \( AB \) và \( CD \). Do đó, \( F \) và \( G \) phân chia \( AB \) và \( CD \) thành hai đoạn thẳng bằng nhau.
2. Gọi \( E \) là trung điểm của \( SA \), nghĩa là \( SE = EA \).

### Chứng minh:
Để chứng minh \( SB \) và \( SC \) song song với mặt phẳng \( FGE \), ta cần chứng minh rằng các véc-tơ \( \overrightarrow{SB} \) và \( \overrightarrow{SC} \) đều nằm song song với mặt phẳng được khảo sát.

1. **Khảo sát vị trí điểm \( F \) và \( G \)**:
- \( F \) là trung điểm của \( AB \) và \( G \) là trung điểm của \( CD \), do đó:
\[
\overrightarrow{F} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}, \quad \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}.
\]

2. **Véc-tơ vị trí của các điểm**:
- Tin tưởng rằng \( S \) có tọa độ là \( \overrightarrow{S} \).
- Véc-tơ \( \overrightarrow{SB} \) và \( \overrightarrow{SC} \) được xác định như sau:
\[
\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{S}, \quad \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S}.
\]

3. **Mặt phẳng \( FGE \)**:
- Để xác định mặt phẳng \( FGE \), ta cần một vector pháp tuyến. Hai vector trong mặt phẳng này có thể là:
\[
\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{F} = \left(\frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}\right) - \left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\right),
\]
\[
\overrightarrow{FE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{F} = \left(\frac{\overrightarrow{S} + \overrightarrow{A}}{2}\right) - \left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\right).
\]

4. **Kiểm tra tính song song**:
- Để kiểm tra \( SB \) và \( SC \), ta cần kiểm tra xem hai vectơ này có nằm trong mặt phẳng \( FGE \).
- Một cách khác để chứng minh là nếu hai véc-tơ \( \overrightarrow{SB} \) và \( \overrightarrow{SC} \) vuông góc với véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \( FGE \) thì chúng sẽ song song với mặt phẳng đó.

Cuối cùng, do tính chất của hình bình hành và các trung điểm mà chúng ta đã xác định, ta có thể thấy rằng \( \overrightarrow{SB} \) và \( \overrightarrow{SC} \) đều nằm trong mặt phẳng xác định bởi \( F \), \( G \) và \( E \). Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( SB \) và \( SC \) song song với mặt phẳng \( FGE \).

### Kết luận:
Do đó, \( SB \parallel SC \parallel FGE \), tức là \( SB \) và \( SC \) song song với mặt phẳng \( FGE \).