Ta có: AMB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒AM⊥BC

Ta có ΔBAC vuông tại A, AM là đường cao ⇒AM.BC=AB.AC (hệ thức lượng)

Ta có  BNM^=BAM^ (cùng chắn cung BM)

Mà BAM^=BCA^ (cùng phụ ABC^)

⇒BNM^=BCA^⇒MNIC là tứ giác nội tiếp

Ta có: ANB^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)⇒ANI^=900

Xét ΔANI và ΔBAI có: ANI^=BAI^=900; I^chung

⇒ΔANI~ΔBAI (g.g)⇒AINI=BIAI⇒AI2=BI.NI