a) ΔABC cân tại A có AD là đường cao nên AD cũng là đường trung tuyến.

Do đó D là trung điểm của BC.

Áp dụng định lý Pytago vào ΔABD vuông tại D ta có:

AD² + BD² = AB²

⇒ 12² + BD² = 13²

⇒ BD² = 169 - 144

⇒ BD² = 25

⇒ BD = 5 cm.

Do D là trung điểm của BC nên BD = 12BC.

Do đó BC = 10 cm.

b) Xét ΔDIM vuông tại I và ΔDIB vuông tại I có:

ID chung.

IM = IB (theo giả thiết).

⇒ΔDIM=ΔDIB (2 cạnh góc vuông).

⇒ DM = DB (2 cạnh tương ứng).

Mà DB = 12BC nên DM = 12BC.

c) Tam giác DIM có MD = DB = DC = 12BC nên Tam giác MBC vuông tại M

Do đó CM vuông góc với AB

Tam giác ABC  có  AD vuông góc BC, CM vuông góc AB.

Mà AD cắt CM tại H nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Do đó: BH vuống góc AC hay BN vuông góc AC.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và góc ABC bằng góc ACB.

Xét tam giác ANB vuông tại N và tam giác AMC vuông tại M:

Góc A chung.

AB = AC (chứng minh trên).

Tam giác ANB= tam giác AMC (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra AN = AM (2 cạnh tương ứng).

tam giác AMN có AN = AM nên tam giác AMN cân tại A.

Do đó Góc AMN= góc ANM.AMN^+ANM^+MAN^=180°

Xét Tam giác AMN có 

⇒2AMN^+MAN^=180°

⇒AMN^=180°−MAN^2 (1).

Xét tam giác ABC có ABC^+ACB^+BAC^=180°

⇒2ABC^+BAC^=180°

⇒ABC^=180°−BAC^2 (2).

Từ (1) và (2) suy ra AMN^=ABC^.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên MN // BC (3).

Xét  tam giác EIM và tam giác DIB có:

EI = DI (theo giả thiết).

Góc EIM =góc DIB (2 góc đối đỉnh).

IM = IB (theo giả thiết).

tam giác EIM= tam giác DIB (c - g - c).

⇒EMI^=DBI^ (2 góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên EM // BD hay EM // BC (4).

Từ (3) và (4) suy ra E, M, N thẳng hàng.

Vậy E, M, N thẳng hàng.