Lời giải

Áp dụng định lí côsin:

NP² = MP² + MN² – 2.MN.MP.cos\(\widehat {\rm{M}}\)

NP² = 10² + 20² – 2.10.20.cos42°

NP = \(\sqrt {{{10}^2} + {\rm{ }}{{20}^2}--{\rm{ }}2.10.20.{\rm{cos}}42^\circ } \)

NP ≈ 14,24.

Áp dụng định lí sin trong tam giác MNP, ta có: R = ON = OP = \(\frac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{2sin}}\widehat {\rm{M}}}}\) ≈ \(\frac{{14,24}}{{2\sin 42^\circ }}\) ≈ 10,64

Xét đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác MNP:

\[\widehat {{\rm{NMP}}}\] là góc nội tiếp chắn cung NP ⇒ \[\widehat {{\rm{NMP}}}\] = \(\frac{1}{2}\)\(\widehat {{\rm{NOP}}}\) ⇒ \(\widehat {{\rm{NOP}}}\) = 42°.2 = 84°.

Suy ra S_ONP = \(\frac{1}{2}\).ON.OP.sin\(\widehat {{\rm{NOP}}}\) ≈ \(\frac{1}{2}\).(10,64)².sin84° ≈ 56,30 (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ONP là 56,30 đvdt.