Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK=BA .

Ta có tam giác ABK cân tại B nên BKA^=BAK^=12ABC^  (tính chất góc ngoài tam giác).

Mà EBD^=DBF^=12ABC^⇒AKB^=DBF^⇒BD//AK⇒BDAK=CBCK  (hệ quả định lý Ta-lét)

 ⇒BDAK=CBBC+BK=aa+c(1)

Trong tam giác ABK có: 

AK

Từ (1) và (2) có:  BD

Vậy BD<2aca+c .