Đặt \(g(x) = {x^2} - 2x + 2m.\)

− Khi \(m =  - 1\) ta có hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^2} - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

− Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{{x^2} - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =  - \infty \) suy ra đồ thị của hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng là \(x = 1.\)

− Khi \(m \ne 1\), xét hàm số \[y = f(x) = \frac{{{x^2} - 2x + 2m}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right)}}\].

• TH1: Đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng \(x = 1.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(1) \ne 0}\\{g( - m) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 + 2m \ne 0}\\{{m^2} + 4m = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{m =  - 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

• TH2: Đồ thị hàm số đã cho có duy nhất một tiệm cận đứng \(x = m.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{g(1) = 0}\\{g( - m) \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2m = 0}\\{{m^2} + 4m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{1}{2}}\\{m \ne 0}\\{m \ne  - 4}\end{array} \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 4.