Gọi \(A\) là biến cố: "Ba số tìm được thoả mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) chia hết cho 3".

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = C_{20}^3 = 1\,\,140\).

Tập hợp các số \[S = \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\, \ldots ;\,\,20} \right\}\] gồm:

• 6 số chia hết cho 3 là: \[3\,;\,\,6\,;\,\,9\,;\,\,12\,;\,\,15\,;\,\,18.\]

• 14 số còn lại không chia hết cho 3.

Ta thấy số chính phương chia cho 3 hoặc chia hết hoặc dư 1.

Do đó, các trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) là

− TH1: \({a^2},{b^2},{c^2}\) cùng chia hết cho 3 nên \(a,\,\,b,\,\,c\) cùng chia hết cho 3.

Do đó có \(C_6^3 = 20\) cách chọn \[a,\,\,b,\,\,c.\]

− TH2: \({a^2},\,\,{b^2},\,\,{c^2}\) cùng chia hết cho 3 dư 1 nên \(a,\,\,b,\,\,c\) cùng không chia hết cho 3.

Do đó có \(C_{14}^3 = 364\) cách chọn \[a,\,\,b,\,\,c\] \( \Rightarrow n(A) = 364 + 20 = 384\).

Khi đó xác suất của biến cố \(A\) là: \(P(A) = \frac = \frac\).

Vậy \(m = 32\,;\,\,n = 95 \Rightarrow m + n = 127\). Đáp án: 127.