Chia cả hai vế của giả thiết cho \(x\), ta được \(2{\log _2}\frac{x} = \frac{x} = \frac{x} - 4\).

Đặt \(t = \frac{x} > 0\), phương trình trên trở thành: \(2{\log _2}t = \frac{1}{t} - 4 \Leftrightarrow 2{\log _2}t - \frac{1}{t} + 4 = 0\).

Dễ thấy \(f\left( t \right) = 2{\log _2}t - \frac{1}{t} + 4\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\, + \infty } \right)\).

Mà \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\) nên \(t = \frac{1}{2}\) là nghiệm duy nhất của phương trình.

Khi đó \(\frac{x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow y + 1 = 2x \Leftrightarrow y = 2x - 1.\)

Vậy \(P = 3{x^2} - {y^2} = 3{x^2} - {\left( {2x - 1} \right)^2} =  - {x^2} + 4x - 1 = 3 - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 3.\) Đáp án: 3.