Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{r = \frac{1}{2}\ell }\\{\ell  = \frac{3}{2}R}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{r = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2}R = \frac{3}{4}R}\\{\ell  = \frac{3}{2}R}\end{array}} \right.} \right.\).

Diện tích mặt cầu \(\left( \right)\) là \({S_1} = 4\pi {R^2}.\)

Diện tích toàn phần của hình nón \(\left( \right)\) là:

\({S_2} = \pi r\ell  + \pi {r^2} = \pi \left( {\frac{3}{4}R} \right) \cdot \frac{3}{2}R + \pi  \cdot {\left( {\frac{3}{4}R} \right)^2} = \frac\pi {R^2}.\)

Theo giả thiết, \({S_1} + {S_2} = 91 \Leftrightarrow \frac\pi {R^2} + 4\pi {R^2} = 91 \Leftrightarrow \frac\pi {R^2} = 91 \Leftrightarrow \pi {R^2} = 16.\)

Vậy diện tích mặt cầu là \({S_2} = 4\pi {R^2} = 4.16 = 64\,\,\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Đáp án: 64.