a)

Gọi A(1; 0), B(3; 0) và C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = 3; x = 1 với đường thẳng y = 2x + 1.

Do đó C(3; 7), D(1; 3).

Tích phân cần tính là diện tích hình thang vuông ABCD với đáy nhỏ AD = 3; đáy lớn BC = 7 và chiều cao AB = 2.

Do đó \(\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} = {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AD + BC} \right).AB}}{2} = \frac{{\left( {3 + 7} \right).2}}{2} = 10\).

b)

Ta có \(y = \sqrt {4 - {x^2}} \) là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc tọa độ O và bán kính 2. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng.

Vậy \(\int\limits_{ - 2}^2 {\sqrt {4 - {x^2}} } dx = \frac{1}{2}.\pi {.2^2} = 2\pi \).