Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2 \ge 0}\\{{x^2} - 6x + 2m > 0}\end{array}} \right.\).

Để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận đứng thì phương trình \({x^2} - 6x + 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) lớn hơn \[ - 2\] nên ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} >  - 2\\{x_2} >  - 2\end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 2m > 0\\{x_1} + 2 + {x_2} + 2 > 0\\\left( {{x_1} + 2} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) > 0\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 2m > 0\\{x_1} + {x_2} + 4 > 0\\{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m < 9\\6 + 4 > 0\\2m + 2 \cdot 6 + 4 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m < 9\\2m >  - 16\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 8 < m < \frac{9}{2}\).

Do đó tập \(S = \left\{ { - 7\,;\,\, - 6\,;\, - 5\,;\, \ldots \,;\,4} \right\}\) có 12 giá trị.

Đáp án: 12.