Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 3, 5,7 có lần lượt số dư là 1,2,6

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số thỏa mãn các điều kiện:

- Chia cho 3 thì có số dư 1
- Chia cho 5 thì có số dư 2
- Chia cho 7 thì có số dư 6

Ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đồng dư.

Gọi số đó là \( x \). Ta có các hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
x \equiv 1 \mod 3 \\
x \equiv 2 \mod 5 \\
x \equiv 6 \mod 7 \\
\end{cases}
\]

### Bước 1: Giải hệ phương trình

Từ phương trình \( x \equiv 6 \mod 7 \), ta có thể biểu thị \( x \) dưới dạng:

\[
x = 7k + 6 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

### Bước 2: Thay vào phương trình thứ hai

Thay \( x \) vào phương trình \( x \equiv 2 \mod 5 \):

\[
7k + 6 \equiv 2 \mod 5
\]

Giảm bớt \( 6 \mod 5 \):

\[
7k \equiv 2 - 1 \mod 5 \rightarrow 2k \equiv 1 \mod 5
\]

Giải phương trình này, chúng ta cần tìm số nghịch đảo của 2 modulo 5. Ta thấy:

\[
2 \times 3 \equiv 1 \mod 5 \quad \text{(3 là nghịch đảo của 2)}
\]

Vậy, nhân cả hai bên phương trình \( 2k \equiv 1 \mod 5 \) với \( 3 \):

\[
k \equiv 3 \mod 5
\]

### Bước 3: Biểu thức cho \( k \)

Vậy \( k \) có thể viết dưới dạng:

\[
k = 5m + 3 \quad (m \in \mathbb{Z})
\]

### Bước 4: Thay vào biểu thức cho \( x \)

Thay giá trị của \( k \) vào biểu thức cho \( x \):

\[
x = 7(5m + 3) + 6
\]

Tính toán ta có:

\[
x = 35m + 21 + 6 = 35m + 27
\]

### Bước 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( x \) có 3 chữ số

Chúng ta cần \( x \geq 100 \):

\[
35m + 27 \geq 100 \Rightarrow 35m \geq 73 \Rightarrow m \geq \frac{73}{35} \approx 2.086
\]

Làm tròn lên, \( m \) phải là 3. Thay \( m = 3 \) vào biểu thức:

\[
x = 35 \cdot 3 + 27 = 105 + 27 = 132
\]

### Kiểm tra

- \( 132 \div 3 = 44 \) số dư 1
- \( 132 \div 5 = 26 \) số dư 2
- \( 132 \div 7 = 18 \) số dư 6

Tất cả đều đúng.

Vậy, số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số thỏa mãn yêu cầu là **132**.