Lời giải

a) Vì AI, BI, CI là ba đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

 \(\widehat {AIB} = 180^\circ - \widehat {IAB} - \widehat {IBA} = 180^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BAC} - \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

\[ = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {ACB}} \right)\]

\[ = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 2\widehat {ACI}} \right) = 90^\circ + \widehat {ACI}\].

Lại có \(\widehat {AMI} = \widehat {MIC} + \widehat {ACI} = 90^\circ + \widehat {ACI}\) (tính chất góc ngoài của tam giác).

Suy ra \(\widehat {AIB} = \widehat {AMI}\).

Xét ∆AIM và ∆ABI, có:

\(\widehat {AIB} = \widehat {AMI}\) (chứng minh trên);

\(\widehat {BAI} = \widehat {IAM}\) (do AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)).

Do đó (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac\).

Vậy AM.BI = AI.IM (điều phải chứng minh).

b) Chứng minh tương tự câu a, ta có (g.g).

Suy ra \(\frac = \frac\).

Vậy BN.AI = BI.NI (điều phải chứng minh).

c) Ta có (chứng minh trên).

Suy ra \(\frac = \frac\).

⇔ AI² = AB.AM    (1)

Lại có (chứng minh trên).

Suy ra \(\frac = \frac\).

⇔ BI² = AB.BN    (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\frac{{A{I^2}}}{{B{I^2}}} = \frac\).

\( \Leftrightarrow \frac = {\left( {\frac} \right)^2}\).

Vậy ta có điều phải chứng minh.