Cho tam giác ABC, I là giao điểm của 3 đường phân giác. Đường thẳng qua I vuông góc với CI cắt AC và BC theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng:
a) .
b) \(\frac = {\left( {\frac} \right)^2}\).
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Lời giải
a) Vì AI, BI, CI là ba đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:
\(\widehat {AIB} = 180^\circ - \widehat {IAB} - \widehat {IBA} = 180^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BAC} - \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)
\[ = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {ACB}} \right)\]
\[ = 180^\circ - \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 2\widehat {ACI}} \right) = 90^\circ + \widehat {ACI}\].
Lại có \(\widehat {AMI} = \widehat {MIC} + \widehat {ACI} = 90^\circ + \widehat {ACI}\) (tính chất góc ngoài của tam giác).
Suy ra \(\widehat {AIB} = \widehat {AMI}\).
Xét ∆AIM và ∆ABI, có:
\(\widehat {AIB} = \widehat {AMI}\) (chứng minh trên);
\(\widehat {BAI} = \widehat {IAM}\) (do AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)).
Do đó (g.g).
b) Ta có (chứng minh trên).
Suy ra \(\frac = \frac\).
⇔ AI2 = AB.AM (1)
Chứng minh tương tự câu a, ta có (g.g).
Suy ra \(\frac = \frac\).
⇔ BI2 = AB.BN (2)
Từ (1), (2), suy ra \(\frac{{A{I^2}}}{{B{I^2}}} = \frac\).
\( \Leftrightarrow \frac = {\left( {\frac} \right)^2}\).
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |