Bước 1: Giả sử chóp tứ giác đều là \[S.ABCD\]. Gọi\[O = AC \cap BD\] đặt\[AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\] tính SO theo x.

Giả sử chóp tứ giác đều là S.ABCD Gọi\[O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\]

Đặt\[AB = x\,\,\left( {x > 0} \right)\] ta có \[{S_{ABCD}} = {x^2}\]

\[ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{x^2} = 16 \Leftrightarrow SO = \frac{{{x^2}}}\]

Bước 2: Gọi M là trung điểm của CD.  Tính SM theo x, từ đó tính \[{S_{{\rm{\Delta }}SCD}}\] theo x.

Gọi M là trung điểm của CD ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot OM}\\{CD \bot SO}\end{array}} \right. \Rightarrow CD \bot (SOM) \Rightarrow CD \bot SM\)

Ta có\[OM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}AB = \frac{x}{2}\] áp dụng định lí Pytago ta có:

\[SM = \sqrt {S{O^2} + O{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2}}}} \right)}^2} + \frac{{{x^2}}}{4}} \]

\[ \Rightarrow {S_{{\rm{\Delta }}SCD}} = \frac{1}{2}SM.CD = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{{{x^2}}}} \right)}^2} + \frac{{{x^2}}}{4}} .x = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4}} \]

Bước 3: Tìm GTNN của diện tích mạ vàng

Để diện tích mạ vàng nhỏ nhất thì\[{S_{{\rm{\Delta }}SCD}}\] nhỏ nhất\[ \Rightarrow \frac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4}\] đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có

\[\frac{{{{48}^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4} = \frac{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}} + \frac{{{x^4}}}{4}}}\]

\[ \ge 3.\sqrt[3]\] (BĐT Cô-si).

Vậy diện tích mạ vàng nhỏ nhất là \[4.3.\sqrt[3] \approx 831\,c{m^3}\]