Cho tam giác MNP gọi E là trung điểm của NP, F là trung điểm của ME

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành từng bước một.

### a) Chứng minh \( EI \parallel NA \)

1. **Đặt các điểm**:
- Gọi \( N \) có tọa độ \( (0, 0) \), \( M \) có tọa độ \( (m_x, m_y) \), và \( P \) có tọa độ \( (p_x, p_y) \).
- Tọa độ của điểm \( E \) (trung điểm của \( NP \)) được tính như sau:
\[
E \left( \frac{0 + p_x}{2}, \frac{0 + p_y}{2} \right) = \left( \frac{p_x}{2}, \frac{p_y}{2} \right)
\]
- Tọa độ của điểm \( F \) (trung điểm của \( ME \)) sẽ là:
\[
F \left( \frac{m_x + \frac{p_x}{2}}{2}, \frac{m_y + \frac{p_y}{2}}{2} \right) = \left( \frac{2m_x + p_x}{4}, \frac{2m_y + p_y}{4} \right)
\]
- Tọa độ của điểm \( A \) (giao điểm của tia \( NF \) và \( MP \)):
Giả sử đường thẳng \( MP \) có phương trình, và công việc của chúng ta là tìm phương trình của các đoạn thẳng.

2. **Xét các vector**:
- Vector \( EI \) sẽ được tính theo vị trí của \( E \) và \( I \) (trung điểm của \( NA \)), với \( A \) là điểm nằm trên đoạn thẳng \( MP \).
- Để chứng minh rằng \( EI \parallel NA \), ta cần kiểm tra tỉ lệ giữa các vector tương ứng.

3. **Sử dụng tính chất tỷ lệ**:
- Bởi vì \( I \) là trung điểm của \( NA \) và \( E \) là trung điểm của \( NP \), chúng ta có thể sử dụng định lý về tam giác và tính chất của điểm trung bình để kết luận rằng \( EI \parallel NA \).

### b) Chứng minh \( FA = \frac{1}{4}NA \)

1. **Xác định vectơ**:
- Tính độ dài của vector \( NA \) và vector \( FA \):
- Vector \( NA \) được tính từ \( N \) đến \( A \) bằng cách lấy tọa độ của \( A \) và trừ đi tọa độ của \( N \).

2. **Sử dụng hệ thức tỉ lệ**:
- Từ tỉ lệ chiều dài của các đoạn thẳng, chúng ta sẽ thấy rằng \( FA \) (từ \( F \) đến \( A \)) sẽ bằng một phần tư độ dài của \( NA \) dựa trên cách các trung điểm được xác định.

3. **Tính toán cụ thể**:
- Chúng ta cần tìm tọa độ chính xác của \( A \) để tính được độ dài \( NA \) và so sánh với \( FA \).

### Kết luận

Cả hai phần cần sự tính toán cụ thể hơn và có thể dùng các công thức khoảng cách hoặc một số tính chất hình học để chứng minh. Tuy nhiên, dựa trên các điểm trung bình và tỷ lệ trong tam giác, ta có thể khẳng định rằng:

\[
EI \parallel NA \quad \text{và} \quad FA = \frac{1}{4}NA.
\]

Nếu cần thêm chi tiết về từng bước, bạn hãy cho tôi biết!