Chào bạn, tôi sẽ giúp bạn giải bài toán hình học này.

Đề bài: Cho tam giác MNP, gọi E là trung điểm của NP, F là trung điểm của ME. Tia NF cắt MP ở A. Gọi I là trung điểm của NA.

a) Chứng minh EI // MA (đề bài bạn viết là NA, tôi cho là MA để phù hợp với hình vẽ và cách chứng minh)

b) Chứng minh FA = 1/4 NA

Giải:

(Vẽ hình: Bạn nên tự vẽ hình để dễ hình dung. Vẽ tam giác MNP, lấy E là trung điểm NP, F là trung điểm ME. Kéo dài NF cắt MP tại A. Lấy I là trung điểm NA.)

a) Chứng minh EI // MA:

Xét tam giác AEN, ta có:

I là trung điểm của NA (gt)
F là trung điểm của ME (gt)
=> IF là đường trung bình của tam giác AEN.
=> IF // AE
Mà AE nằm trên đường thẳng MA.

=> IF // MA
Vậy EI // MA. (Điều phải chứng minh)

b) Chứng minh FA = 1/4 NA:

Để chứng minh FA = 1/4 NA, ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác MPE và cát tuyến NFA.

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác MPE và cát tuyến NFA, ta có:
(MN/NE) * (EF/FM) * (MA/AP) = 1

Vì E là trung điểm NP => NE = EP => MN/NE = MN/EP = 1

Vì F là trung điểm ME => EF = FM => EF/FM = 1

Thay vào biểu thức trên, ta được:

1 * 1 * (MA/AP) = 1

=> MA = AP

=> A là trung điểm MP.

Xét tam giác MAN, ta có:
FA là đường trung tuyến (vì F là trung điểm ME và A là trung điểm MP nên FA là đường trung tuyến của tam giác MEP, do đó FA cũng nằm trên đường trung tuyến của tam giác MAN)

Xét tam giác MAN, ta có:
I là trung điểm của NA (gt)

=> MI là đường trung tuyến của tam giác MAN

Gọi G là giao điểm của MI và FA. G là trọng tâm của tam giác MAN
=> FG = 1/3 FA và AG = 2/3 FA

Mặt khác, xét tam giác MEP, FA là đường trung tuyến, mà F là trung điểm ME
=> A là trọng tâm của tam giác MEP

=> AF = 2/3 đường trung tuyến xuất phát từ E. Gọi trung điểm của MP là K, ta có EK là đường trung tuyến của tam giác MEP.

=> AF = 2/3 EK

Vì A là trung điểm MP và E là trung điểm NP, nên AE là đường trung bình của tam giác MNP
=> AE // MN và AE = 1/2 MN

Ta có IF là đường trung bình của tam giác AEN
=> IF = 1/2 AE

=> IF = 1/4 MN

Vì I là trung điểm NA => AI = IN = 1/2 NA

Ta có FA = FI + IA

Vì IF // MA và A là trung điểm MP => F là trung điểm của AK

=> AF = FK

Ta có FA = FI + IA = FI + 1/2 NA

Vì F là trung điểm của ME và A là trung điểm của MP => FA là đường trung bình của tam giác MEP

=> FA = 1/2 EP

Vì E là trung điểm NP => EP = 1/2 NP
=> FA = 1/4 NP