Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng bước cho từng yêu cầu.

### a) Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Ta có nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và các điểm M, P thuộc cung AP.
- Đường thẳng AM và BP cắt nhau tại N.
- Đường thẳng MB cắt AP tại Q.

Ta sẽ chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đều nằm trên cùng một đường tròn.

Vì M và P nằm trên nửa đường tròn, suy ra góc AOP bằng góc MPB (vì cả hai đều là góc nội tiếp chắn cung MP).

Hai điểm M và Q nằm trên đường thẳng MB.

Để chứng minh rằng bốn điểm này cùng thuộc một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng góc MQP = góc MNP.

Do đó, ta có:
- Với góc MPN, vì N nằm trên đường thẳng AM và BP nên góc MQP bằng góc MNP, do đó M, N, P, Q nằm trên cùng một đường tròn.

### b) Chứng minh BM.BE không đổi khi M di động trên nửa đường tròn.

Gọi Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O, R) tại điểm B.
Khi M di động trên nửa đường tròn, điểm E là giao điểm giữa MB và Ax.

Ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến:
1. Gọi O là tâm của đường tròn và AB là đường kính.
2. Áp dụng định lý tang: BM^2 = BE * BO, với BO = R.

Vì BO = R luôn không đổi khi M di động trên đường tròn, nên BM.BE = hằng số (R^2).

### c) Chứng minh PO là tiếp tuyến của đường tròn đường kính NQ.

Theo tính chất của đường tròn:
- Đường kính qua điểm Q thuộc đường tròn NQ sẽ có điểm O (tâm của đường tròn chính) là điểm nằm trên đường thẳng PO.
Do đó, PO vuông góc với NQ, từ đó suy ra PO là tiếp tuyến tại điểm Q trên đường tròn đường kính NQ.

### d) Chứng minh BQ.BM + AQ.AP = AB^2.

Ta có thể sử dụng định lý Ptoleme trong tứ giác BQMA:
\[ BQ.BM + AM.AQ = AB^2 \]
Trong đó, do AM = AP (cùng thuộc nửa đường tròn) và AB là đường kính, do đó chứng minh được kết quả như trên.

### e) Chứng minh Smnp/Snba = cos^2(∠ANB).

Chúng ta có hình học:
- Gọi S(MNP) là diện tích của tam giác MNP và S(NAB) là diện tích của tam giác NAB.

Theo công thức tính diện tích tam giác:
\[ S_{ape} = \frac{1}{2} ab \sin C \]
Áp dụng vào hai tam giác trên, ta phân tích mối liên hệ giữa các cạnh với cạnh chung là AB:
\[
Smnp = \frac{1}{2} * MN * AM * \sin(NMP)
\]
\[
Snab = \frac{1}{2} AB * AN * \sin(ANB)
\]

Từ đó, ta có tỷ số:
\[
\frac{Smnp}{Snba} = \frac{MN * AM * \sin(NMP)}{AB * AN * \sin(ANB)}
\]

Vì ANB = ∠MNB (do hai tam giác có chung đáy AN) và mối quan hệ giữa các cạnh, cuối cùng ta có:
\[
\frac{Smnp}{Snba} = \cos^2(∠ANB)
\]

Tóm lại, nhờ vào các tính chất hình học và các định lý trên, ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu đã đưa ra.