Gọi \(M\left( {x\,;\,\,y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \[z.\]

Ta có \(\left| {\bar z} \right| = \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow y + 1 = 0\), tức biểu diễn hình học của số phức thoả mãn giả thiết là đường thẳng \(y + 1 = 0.\) Xét điểm \(A\left( {0\,;\,\,1} \right)\) và \(B\left( {4\,;\,\,0} \right)\) thì \(P = \left| {z - i} \right| + \left| {z - 4} \right| = MA + MB.\)

Dễ thấy \[A,\,\,B\] cùng phía với đường thẳng \(y + 1 = 0\) nên \(MA + MB\) nhỏ nhất bằng \(BA'\) trong đó \(A'\left( {0\,;\,\, - 3} \right)\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(y + 1 = 0.\)

Do đó \(MA + MB\) nhỏ nhất bằng \(BA' = 5.\)

Đáp án: 5.