Đáp án: \(\frac{7}{6}\)

Phương pháp giải:

- Xác định các đường giới hạn hình phẳng.

- Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = g\left( x \right)\), \(x = a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(2 - {x^2} = - x \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Vì hình phẳng thuộc góc phần tư thứ hai nên \(x < 0 \Rightarrow x = - 1\).

Khi đó diện tích hình phẳng thuộc góc phần tư thứ hai, giới hạn bởi parabol \(y = 2 - {x^2}\), đường thẳng \(y = - x\) và trục \(Oy\) giới hạn bởi các đường \(y = 2 - {x^2}\), \(y = - x\), \(x = - 1\), \(x = 0\) nên :

\(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {2 - {x^2} + x} \right|dx} = \frac{7}{6}\).