a) OMP^+ONP^=1800⇒OMNP là tứ giác nội tiếp

b) Xét ΔPAM và ΔPMQ có: P^ chung; PMA^=MQP^ (cùng chắn cung AM)

⇒ΔPAM~ΔPMQ(g.g)⇒PAPM=PMPQ⇒PM2=PA.PQ

c) Kẻ tiếp tuyến Nx⇒MQN^=QNx^ (so le trong)

QNx^=QAN^ (cùng chắn NQ⏜)⇒MQN^=NAQ^(dfcm)

d) Xét ΔPKM và  ΔAKP có: K^ chung;

P^=AMP^ (vì P^=MQA^ (so le trong); MQA^=AMP^ (cùng chắn cung MA)

⇒ΔPKM~ΔAKPg−g⇒PKKM=AKPK⇒PK2=AK.KM(1)

Xét ΔNKM và ΔAKN có: K^ chung;

NAK^=MNK^ (vì NAK^=MQN^ (tứ giác nội tiếp), MQN^=MNK^ (cùng chắn cung MN))

⇒ΔNKM~ΔAKN(g.g)⇒NKKM=AKKN⇒NK2=KM.AK(2)

Từ (1) và (2) suy ra PK2=NK2⇒PK=NK⇒K là trung điểm của NP.