a) Phương pháp giải:

Hàm số đồng biến khi đạo hàm không âm.

Giải bất phương trình y’ ≥ 0 rồi cô lập m, lập bảng biến thiên trên khoảng cần xét.

Giải chi tiết:

Hàm số đã cho đồng biến trên nửa khoảng đã cho khi và chỉ khi

y'=mx2−2(m−1)x+3(m−2)≥0  ∀x∈[2;+∞) 

⇔m(x2−2x+3)≥6−2x 

⇔m≥6−2xx2−2x+3(dox2−2x+3=(x−1)2+2>0,∀x) 

Xét f(x)=6−2xx2−2x+3 trên [2;+∞) có f'x=2x2−12x+6x2−2x+32=0⇔x=3±6 .

Ta có BBT

Căn cứ BBT, ta có các giá trị m cần tìm là m≥23 

Vậy m≥23.

b) Phương pháp giải:

Tìm số hạng tổng quát của dãy u1u2...un.

Từ đó tìm ra lim(u1u2...un).

Giải chi tiết:

Ta có

un=n2+2nn+12=nn+2n+12 

⇒u1=1.322;u2=2.432;...;un=nn+2n+12 

⇒u1u2...un=1.2.3.4...nn+222.32...n+12=n+22n+1 

⇒limu1u2...un=lim1+2n2+2n=12