⦁ Vì ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA.

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA nên    

Do đó

Xét ∆ABD có AB = AD nên ∆ABD cân tại A, lại có nên ∆ABD là tam giác đều. Do đó AB = BD (2) và

Lại có M, Q là lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác. Do đó MQ // BD và

Chứng minh tương tự, ta cũng có

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra MB = BN = NP = PD = DQ = QM.

⦁ Vì MQ // BD nên (so le trong).

Mà (hai góc kề bù)

Suy ra

Tương tự, ta có

Tam giác BCD có BC = CD và (tính chất hình thoi) nên ∆BCD là tam giác đều. Do đó

Ta có

Khi đó,

Như vậy MBNPDQ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.

Vậy MBNPDQ là lục giác đều.