Lời giải

a) Xét tam giác ABK có I là trung điểm của AB, H là trung điểm của BK

Do đó HI là đường trung bình

Suy ra HI // AK

Xét tứ giác AKHD có HI // AK, AD // HK

Suy ra AKHD là hình bình hành

Vậy AKHD là hình bình hành

b) Vì AKHD là hình bình hành (chứng minh câu a)

Nên AD = HK

Mà BH = HK (giả thiết)

Suy ra AD = BH

Vì AH ⊥ BC nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AHBD có AD = BH, AD // BH (chứng minh trên)

Suy ra AHBD là hình bình hành

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Suy ra AHBD là hình chữ nhật

Vậy AHBD là hình chữ nhật

c) Để hình chữ nhật AHBD là hình vuông thì AH = BH

⟺ Tam giác ABK vuông tại A (vì AH = BH = HK)

⟺ K ≡ C (vì tam giác ABC vuông tại A)

⟺ H là trung điểm của BC

⟺ tam giác ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân thì AHBD là hình vuông

d) Xét tứ giác ABMK có hai đường chéo AM và BK cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường

Suy ra ABMK là hình bình hành

Suy ra AB // MK

Mà AB ⊥ AC

Do đó MK ⊥ AC

Xét tam giác AMC có MK, CH là hai đường cao

MK cắt CH tại K

Suy ra K là trực tâm tam giác AMC

Do đó AK ⊥ MC

Vậy AK ⊥ MC.